Для большинства повседневных ситуаций - запись в кружок, секцию, студию - достаточно согласия одного родителя, второй присутствовать или отдельно подписывать документ не обязан. Оба согласия нужны в особых случаях, например при явном споре между родителями о ребенке, но это редкость, а не стандартная практика администратора на ресепшене.
Подтверждение статуса законного представителя на практике - это данные, которые родитель сам указывает в бланке: ФИО, свои контакты и отметка о родстве с ребенком. Требовать копию свидетельства о рождении для рядовой записи на занятия избыточно - это лишние персональные данные, которые студии не нужны для оказания услуги, их сбор скорее создаст дополнительный риск, чем защитит от него.
Форма сбора может быть любой - бумажный бланк на приеме, как у вас, или чекбокс с уточняющим текстом при записи через сайт. Важно, чтобы в документе было прямо написано, что согласие дает законный представитель за ребенка, а не сам ребенок, и чтобы был понятен объем данных и цель их использования, обычно это организация занятий и связь с родителем.
Бланк храните так же аккуратно, как любой другой документ с персональными данными: доступ только у администратора и педагогов, которым это нужно по работе, а не в общей папке на ресепшене, куда заглядывает кто угодно. Если студия ведет соцсети и планирует публиковать фото с занятий, добавьте в бланк отдельный пункт про согласие на распространение - это не то же самое, что согласие на обработку.