Медицинская (врачебная) тайна - это сам факт обращения человека за медицинской помощью, диагноз, сведения о состоянии здоровья, результаты обследований и лечения, а также любая другая информация, полученная при оказании медицинской помощи. Ситуация, которую вы описываете - диагноз, произнесенный вслух при постороннем сотруднике, - подпадает под это понятие: медицинскую тайну обязаны хранить не только врачи, но и любой сотрудник клиники, которому эти сведения стали известны по работе.
Разглашением считается передача сведений третьим лицам без согласия пациента или его законного представителя, кроме случаев, прямо предусмотренных законом - например, по запросу следственных органов или суда, при угрозе распространения инфекционных заболеваний, или когда пациент сам письменно разрешил передать информацию конкретным людям (родственникам, другому врачу).
С точки зрения 152-ФЗ сведения о здоровье относятся к специальной категории персональных данных - для их обработки клиника обычно берет отдельное письменное согласие пациента при заключении договора на медицинские услуги, а не общий чекбокс, который используют для обычных заявок на сайте. Это дополнительная защита поверх врачебной тайны, а не замена ей.
Если вы считаете, что тайна нарушена, можно обратиться с жалобой к руководству клиники и зафиксировать ситуацию письменно, а при отсутствии реакции - в территориальный орган Росздравнадзора или прокуратуру. Разглашение врачебной тайны может повлечь для клиники и конкретного сотрудника ответственность вплоть до административной, в зависимости от обстоятельств и последствий.