За ребенка, который в силу возраста не может дать юридически значимое согласие сам, документ подписывает родитель или другой законный представитель. В согласии указывают данные ребенка, данные и подпись представителя, основание представительства - обычно достаточно родства, цель обработки, перечень данных и действий с ними, срок действия и порядок отзыва согласия.
Для детского кружка типичный набор данных - имя, возраст, контакты родителя, иногда сведения о здоровье, если это важно для занятий, например аллергии. Чем чувствительнее данные, тем внимательнее нужно формулировать цель: не общая фраза, а конкретно, зачем эти сведения нужны кружку.
Отдельно стоит вопрос фото и видео с занятий. Публикация фотографии ребенка на сайте или в соцсетях кружка - это распространение персональных данных, а не просто обработка, и для нее нужно отдельное согласие родителя, где прямо написано, что фото будет опубликовано и где именно. Обычного согласия на обработку для этого недостаточно.
Если кружок работает с несколькими детьми одной семьи или ребенка приводит не родитель, а, скажем, бабушка, стоит уточнить основание представительства - иначе согласие можно поставить под сомнение. Проще при регистрации сразу собирать данные и подпись именно законного представителя, а не любого сопровождающего взрослого.