Да, согласие нужно от самих представителей контрагента, а не от юридического лица - закон о персональных данных защищает физических лиц, и подпись директора под договором не заменяет его личное согласие на обработку его ФИО, телефона и должности вашей компанией. На практике это оформляется отдельным документом или пунктом в самом договоре, если контрагент готов его подписать от лица конкретных сотрудников.
В согласии указывают, кто оператор (ваша компания), какие данные обрабатываются (ФИО, должность, контактный телефон, email представителя), для какой цели (исполнение договора, документооборот, связь по рабочим вопросам) и срок действия - обычно на период действия договора и некоторое время после для архивного хранения.
Собрать такое согласие с каждого контактного лица контрагента бывает неудобно, поэтому часто эту обязанность возлагают на саму компанию-контрагента: в договоре прописывают, что каждая сторона гарантирует наличие согласия своих представителей на передачу их данных другой стороне для целей договора. Это снимает организационную нагрузку, но формально согласие должно существовать - если при проверке спросят, а его нет, отвечать за это будет оператор, который данные обрабатывает.
Если контрагентов много и повторять эту процедуру вручную для каждого накладно, разумнее один раз проработать шаблон пункта для типового договора, чем оформлять согласия по одному.