Ключевое отличие - подписывает не сам ребенок, а его законный представитель, обычно родитель. В форме или бланке нужно прямо указать, что согласие дает представитель за ребенка: его ФИО, контакты и отметка о том, что он является законным представителем несовершеннолетнего, чьи данные указаны в заявке.
На сайте это делается тем же чекбоксом, что и для взрослых, но с уточненным текстом рядом: не просто «согласен на обработку персональных данных», а «подтверждаю, что являюсь законным представителем ребенка, и даю согласие на обработку его персональных данных». Ссылка на политику обработки данных остается та же, документ можно не дублировать под несовершеннолетних отдельно.
Для секций, кружков и школ, где запись часто происходит очно, а не только через сайт, лучше держать бумажный бланк того же содержания - на случай проверки удобнее показать подписанный документ, чем объяснять, как формировался чекбокс на сайте полгода назад.
Отдельно уточню: если помимо занятий вы планируете публиковать фото или видео ребенка, для соцсетей, сайта или портфолио секции, это уже распространение данных, и нужно отдельное согласие на это конкретное действие - обычного согласия на обработку для публикации недостаточно.