1С для салона красоты - это информационная система персональных данных, и правила для нее те же, что для любой другой базы клиентов: нужно согласие клиента на обработку, уведомление в Роскомнадзор до начала работы с базой и ограничение доступа к программе только для сотрудников, которым это нужно по работе.
Дата рождения клиента для акций - это обычные персональные данные, не специальная категория, поэтому отдельного усиленного режима защиты не требует, но собирать ее нужно только с согласия и только если она реально используется, а не про запас. Если 1С работает как облачный сервис (данные хранятся не на вашем сервере, а у поставщика), уточните у него, где физически находятся серверы - база данных клиентов должна размещаться в России.
Если базу обслуживает сторонняя ИТ-компания или франчайзи 1С с удаленным доступом к вашим данным, с ней нужен договор, где прописана обработка персональных данных по вашему поручению - это отдельное требование закона, устная договоренность с подрядчиком не считается.
Внутри салона стоит настроить в 1С разграничение прав: администратор видит записи и телефоны, а доступ к полной базе с историей визитов и датами рождения имеет только ограниченный круг сотрудников. Это не техническая прихоть, а требование при проверке - Роскомнадзор смотрит, что доступ к данным ограничен производственной необходимостью, а не открыт всем подряд.