Передача данных банку-партнеру - это передача третьему лицу, и она должна быть прямо описана в согласии клиента: кому именно передаются данные, для какой цели и на каком основании. Отдельного заявления от клиента, как правило, не требуется - достаточно, чтобы формулировка согласия на сайте прямо называла банк или категорию партнеров (банки-партнеры) и цель - оформление рассрочки.
Дальше нужен договор между вами и банком: банк почти всегда сам просит подписать соглашение об обработке персональных данных или прописывает свои требования в партнерском договоре, потому что тоже выступает оператором и несет свою ответственность. Проверьте, что в вашей политике конфиденциальности есть пункт о передаче данных третьим лицам с перечнем таких лиц или их категорий - без этого согласие считается неполным.
Отдельно стоит убедиться, что данные уходят по защищенному каналу - обычно у банка есть готовый API или форма для этого, а не пересылаются, скажем, по почте вложением. Если формы на сайте передают паспортные данные, это уже специальная категория с повышенными требованиями к защите, и лучше свериться с банком, какой именно объем данных ему действительно нужен - часто достаточно серии и номера паспорта, а не полной копии документа.
Если сомневаетесь, что нынешняя формулировка согласия на сайте покрывает передачу партнерам, проще один раз показать ее юристу или специалисту по 152-ФЗ, чем потом объяснять инспектору, откуда у банка ваши клиентские данные.