Да, если сайт собирает данные клиентов через форму записи, отдельная политика обработки персональных данных обязательна. Это публичный документ, который объясняет, какие данные вы собираете (имя, телефон, иногда email), с какой целью (запись на услугу, напоминание о визите), кто их обрабатывает и как защищает - без него форма записи с юридической точки зрения работает вне закона.
В документ включают: полное наименование оператора (ИП или ООО), перечень собираемых категорий данных, цели и правовые основания обработки, сроки хранения, права клиента как субъекта данных и контакт, куда обращаться по вопросам ПДн. Политику публикуют отдельной страницей на сайте и ссылку на нее ставят рядом с формой записи, а не прячут в футере среди прочих ссылок.
Отдельно нужен чекбокс согласия прямо у формы: клиент должен активно поставить галочку «согласен с обработкой персональных данных» перед отправкой, а не увидеть ее уже отмеченной за него - иначе согласие юридически не считается полученным.
И еще момент, который часто упускают: публикация политики и получение согласий - это одна часть требований, а до начала сбора данных через сайт нужно отдельно подать уведомление в Роскомнадзор, что вы как оператор обрабатываете персональные данные. Если разбираться во всем этом самостоятельно некогда, такую политику и согласия можно подготовить под ключ за пару дней вместе с самим уведомлением.