Если субъект данных - несовершеннолетний, согласие на обработку его данных дает законный представитель (родитель, опекун), а не сам ребенок, и это отдельное самостоятельное согласие. Одновременно вы обрабатываете и данные самого представителя - его ФИО, паспортные сведения, контакты, - и здесь основанием служит уже не отдельное согласие, а необходимость заключить и исполнить договор с ним как со стороной сделки.
На практике стоит развести это в документах на два блока. Первый - согласие законного представителя на обработку данных ребенка: что именно собираете (имя, дата рождения, фото, данные о здоровье при наличии), для каких целей (зачисление, ведение карточки, публикация фото на сайте - это лучше вынести отдельным пунктом, потому что публикация - уже распространение и требует отдельного согласия). Второй - согласие или пункт в договоре на обработку данных самого представителя как заказчика услуги.
Полномочия представителя нужно подтвердить документом - обычно это свидетельство о рождении ребенка или акт органа опеки, если это не родитель, а опекун. Копию такого документа тоже стоит хранить - она подтверждает законность того, что согласие дал именно уполномоченный человек, а не посторонний.
Отдельно проверьте формы на сайте: если родитель записывает ребенка через онлайн-форму, в ней должно быть явное поле-чекбокс с согласием именно на обработку данных ребенка, а не общая формулировка про персональные данные, которая по умолчанию читается как согласие только на данные заполняющего форму.