Главное правило простое: согласие на обработку персональных данных ребенка дает не он сам, а родитель или другой законный представитель. Ребенок не обладает полной дееспособностью, поэтому подпись или чекбокс на форме должны быть оформлены именно от имени взрослого, а не подразумевать, что согласие дал сам несовершеннолетний.
На практике это значит, что форма записи должна явно запрашивать данные и согласие родителя: «Я, [ФИО родителя], даю согласие на обработку персональных данных моего ребенка [ФИО, возраст]». Просто поля «имя ребенка» и «возраст» без этой формулировки - недостаточно, даже если форму физически заполняет мама или папа.
Дальше действуют те же общие требования 152-ФЗ, что и для взрослых: политика обработки на сайте, уведомление в Роскомнадзор до начала обработки, ограничение доступа к базе - но с ребенком в анкете стоит быть строже с рассылками и распространением данных, потому что риски выше, а внимание регулятора к таким операторам обычно повышенное.
Раз данные чувствительные, назначьте письменно ответственного за организацию обработки персональных данных - это отдельное требование самого 152-ФЗ, не только для детских центров, но именно здесь его особенно важно не пропустить. Ответственный проверяет, что согласия собраны корректно, от родителей, а не от детей, и что доступ к анкетам есть только у тех, кому он действительно нужен по работе.