Данные о состоянии здоровья прямо отнесены законом к специальной категории персональных данных - это как раз ваш случай с жалобами и диагнозом в форме записи. К этой же категории относятся сведения о расовой и национальной принадлежности, политических взглядах, религиозных и философских убеждениях, состоянии здоровья, интимной жизни, а также данные о судимости.
Разница со обычными персональными данными - в требованиях к согласию и защите. Для обработки специальной категории нужно отдельное письменное согласие, где явно указано, что обрабатываются именно такие данные - формулировки вида «согласен на обработку персональных данных» без уточнения категории недостаточно. Хранить и передавать такие сведения нужно с повышенными мерами безопасности, а при утечке ответственность строже, чем за утечку обычных ФИО и телефона.
Для медцентра это означает: в форме записи на прием должен быть отдельный чекбокс согласия именно на обработку данных о здоровье, с описанием цели - запись на консультацию, ведение медицинской карты. Общая политика конфиденциальности сайта должна отдельно упоминать, что обрабатываются специальные категории, а не только стандартный набор контактных данных.
На практике многие сайты медицинских организаций смешивают это с обычным согласием на обработку персональных данных, и при проверке это одна из первых вещей, на которую обращают внимание.