Да, переписка в мессенджерах - точно такая же обработка персональных данных, как база в CRM или таблица в Excel: вы получаете, храните и используете имя, телефон и адрес клиента. На вас распространяются все требования 152-ФЗ - согласие, четкие цели обработки, сроки хранения и защита переписки от посторонних глаз.
На практике это значит несколько конкретных вещей. Прежде чем принимать заказ, у клиента должно быть согласие на обработку данных - обычно достаточно ссылки на политику конфиденциальности в приветственном сообщении бота или в описании чата, отдельная подпись под каждым заказом не нужна. А вот номер карты в переписке лучше вообще не запрашивать: это уже не просто персональные данные, и скриншоты с номерами карт в чате - риск для вас же, если переписку украдут или сотрудник уволится с доступом к истории сообщений.
Дальше - организационная сторона. Назначьте человека, ответственного за обработку персональных данных, ограничьте доступ к переписке только теми сотрудниками, кому она нужна по работе, и переносите данные из чатов в основную базу с последующим удалением из мессенджера, если хранить их там долго не нужно. Если у вас есть сайт с формой заказа, синхронизированной с мессенджерами, уведомление в Роскомнадзор нужно подавать в любом случае - сам факт использования WhatsApp или Telegram как канала связи ничего не меняет, обязанности оператора те же самые.